compcogneuro/web: exponential-integration

+++ Categories = [“Computation”] bibfile = “ccnlab.json” +++ {id=”sim_tau” title=”タウ指数積分時定数” Collapsed=”true”} 「ゴール」 tau := 10.0 // 時定数 ドライブ:= 50.0 初期化:= 0.0 val := 初期化 var tauStr、driveStr、initStr、valAtTauStr 文字列

## 合計時間 := 100 driver := zeros(totalTime) // ドライバーは値を駆動するものです vals := zeros(totalTime) // 値 exps := zeros(totalTime) // 指数関数の値 ##

関数 valUpdate() { tauStr = fmt.Sprintf(“タウ: %g”, タウ) driveStr = fmt.Sprintf(“ドライバー: %g”, ドライブ) initStr = fmt.Sprintf(“初期化: %g”, init) ## d := array(drive) // 現在のドライブ iv := 配列(初期化) dv := d - iv v := array(init) // 現在の タウ := 配列(タウ) ## for t := 範囲 100 { ## テレビ := 配列(t) ドライバー[t] = d vals[t] = v v += (1.0 / ttau) * (d - v) // v は d に向かって移動します exps[t] = iv + dv * (1 - exp(-tv / ttau)) ## } 色合い := int(タウ) tval := vals.Float(int) dist := ドライブ - 初期化 pdist := 100.0 if dist != 0 { pdist = 100 * (tval-init) / dist } valAtTauStr = fmt.Sprintf(“タウの値 (%d) = %7.3g = %7.3g %% ドライブまでの道のり、%7.3g %% go まで残り”, tiny, tval, pdist, 100 - pdist) }

valUpdate()

プロットスタイル := func(s *plot.Style) { s.Range.SetMax(100).SetMin(0) s.Plot.XAxis.Label = “時間” s.Plot.XAxis.Range.SetMax(100).SetMin(0) s.Plot.Legend.Position.Left = true } プロット.SetStyler(ドライバー, プロットスタイラー)

fig1, pw := lab.NewPlotWidget(b) dl := プロット.NewLine(fig1, ドライバー) vl := プロット.NewLine(fig1, vals) el := プロット.NewLine(fig1, exps) fig1.Legend.Add(“ドライバー”, dl) fig1.Legend.Add(“値”, vl) fig1.Legend.Add(“Exp”, el)

valAtTauTx := core.NewText(b) valAtTauTx.Styler(func(s *styles.Style) { s.Min.X.Ch(80) // 可変幅コンテンツによるクリーンなレンダリング }) core.Bind(&valAtTauStr, valAtTauTx)

関数 updt() { valUpdate() dl.SetData(ドライバー) vl.SetData(vals) el.SetData(exps) valAtTauTx.UpdateRender() pw.NeedsRender() }

func addSlider(label *string, val *float64, mxVal float32) { tx := core.NewText(b) tx.Styler(func(s *styles.Style) { s.Min.X.Ch(40) // 可変幅コンテンツによるクリーンなレンダリング }) core.Bind(ラベル、tx) sld := core.NewSlider(b).SetMin(1).SetMax(mxVal).SetStep(1).SetEnforceStep(true) sld.SendChangeOnInput() sld.OnChange(func(e events.Event) { updt() tx.UpdateRender() }) core.Bind(val, sld) }

addSlider(&tauStr, &tau, 50) addSlider(&initStr, &init, 100) addSlider(&driveStr, &drive, 100) 「」

[[#sim_tau]] は、時定数 tau ($\tau$) によって制御されるオンライン 指数積分のプロセスを示しています。ここで、指定された値は各タイム ステップで更新され、「駆動」値に向かって一定の割合が移動します。この割合は $\frac{1}{\tau}$ です。

{id=”eq_tau” title=”指数積分”} \(v(t+1) = v(t) + \frac{1}{\tau} (d - v(t))\)

このタイプの方程式は、[[Axon]] のほぼあらゆる場所で使用されており、[[neuron]] のモデルを駆動する核となる方程式である、電位に対する電流の影響に関するオームの法則を含む、さまざまなタイプの物理プロセスの基本的な結果です。

化学反応も同様の関数に従い、化学反応の速度を表すタウ因子によって支配されます。たとえば、2 つの最初の「成分」A、B は、順速度定数 $K_f$ による化学反応によって _化合物 AB に結合できます。

{id=”eq_chem” title=”順化学反応”} \(A + B \; {K_f \atop \rightarrow} AB\)

反応が進行するにつれて、利用できる原材料が少なくなるため、利用可能な原材料の量に応じて反応速度が自然に遅くなり、結果として [[#eq_tau]] と同じ動きになります。

タウの値

[[#eq_tau]] でさまざまな Tau、Init、および Driver 値を試してみるとわかるように、更新の Tau タイム ステップ後には、ドライバーまでの距離が常に約 64% になります。これは、任意のタイム ステップで値を直接計算できる指数関数から直接計算できます ([[#sim_tau]] の Exp としてプロットされます)。

{id=”eq_exp” title=”指数関数”} \(v(t) = v(0) + (d - v(0)) \left(1 - e^{-t/\tau} \right)\)

ここで、$v(0)$ は、タイム ステップ 0 での Init 初期値です。これを 0 に設定し、$t=\tau$ で評価すると、次のようになります。

{id=”eq_exp-tau” title=”t = タウの値”} \(v(\tau) = d \left(1 - e^{-1} \right) \約 1 - 1/2.72 \約 0.632..\)

報告される値に小さな差異があるのは、離散時間間隔で更新方程式 ([[#eq_tau]]) を反復する場合と、(微積分などによる) 指数関数によって計算される完全に連続的な更新による数値の違いによるものです。

最も簡単に言うと、$\tau$ は、駆動値までのおよそ 2/3 に到達するのにかかる時間と考えることができます。

＃＃ 人生の半分

おそらく聞いたことがあるもう 1 つの値は、指数関数的過程 (放射性崩壊もこれと同じ関数に従います) の「半減期」です。これは、値が駆動値までの 50% に達するときです。これは、$t = ln(2) \tau$ またはおおよそ $t = 0.7 \tau$ のときに発生します。$v(t) = \frac{1}{2}d$ を設定して t を解くとわかります。

{id=”eq_hl-tau” title=”半減期”} \(\frac{1}{2} d = d \left(1 - e^{-t/\tau} \right)\)

両側の自然対数を取る：

詳細については、この ウィキペディアのページ を参照してください。