compcogneuro/web: quantum-analogies
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原典: https://github.com/compcogneuro/web/blob/main/content/quantum-analogies.md
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+++ Categories = [“Computation”] bibfile = “ccnlab.json” +++ 量子物理学から派生した概念の神経科学へのさまざまな興味深い応用例があり、ここで取り上げます。
古典的確率と量子確率
| 標準的な「古典的な」確率概念と、量子領域を記述する種類の確率関数 (例: [[@Zurek05]]) との基本的な違いを、より抽象的で原理的なレベルで理解しようとするさまざまな試みがなされてきました。これらの違いは、神経システムのダイナミクスと表現を理解するための有用な類似点を提供します。特に、[[constraint satisfaction]] 処理ダイナミクスをサポートする [[bidirectional connectivity | bidirectionally connected]] ネットワークは、量子システムに似た動作をします。ネットワークのさまざまな部分間で強力な「相互作用」が存在する可能性があり、双方向接続によって引き起こされる相互依存性のないフィードフォワード ネットワークと比較して、システム全体がより混沌とした予測不可能な動作を引き起こす可能性があります。 |
これらの違いを理解するための出発点としては、[[linear algebra#non-negative factorization]] と符号制約なし因数分解 (つまり、主成分分析または PCA) の観点から始めるとよいでしょう。続行する前に、上記のリンクのセクション (および PCA に関するそのページの前半部分) をお読みください。
つまり、古典的な確率は非負の因子のようなものです。それらは 0 または正の値のみであるため、純粋に加法的な因子セットを定義し、関連するすべての可能性の合計が最終的に 1 になる必要があります。非負因数分解の場合と同様に、これらの確率は、それらが関連付けられている個別の相互排他的な結果 (たとえば、コイン投げの表と裏) と直接かつ一意に一致します。
対照的に、量子確率は、直交基底ベクトルの ヒルベルト空間 によって定義され、確率振幅は複素数 (つまり、実数と虚数の組み合わせ) になります。これを理解するには、複素数について少し脱線する必要があります。
虚数: $i = \sqrt{-1}$ は非常に謎に思えますが、実際には、実数に対して直交する追加次元を表す効率的な方法にすぎません。これにより、複素数 (実数 + 虚数) で 2D 値を表す効率的な方法が提供されます。さらに、そこに -1 があるため、複素数には「本質的に」正と負の成分があり、非負性制約に違反します。
この組み込みの正と負の組み合わせにより、2 つの虚数を乗算すると実数に戻るため、回転と振動を複素数の乗算で自然に表すことができます。
\[\sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{-1}^2 = -1\]一方、実数成分と虚数成分を乗算する複素数の乗算の外積は次のようになります。
\[(a + bi)(c + di) = ac - bd + (ad + cb)i\]そして現実の部分を想像の世界に吸い込みます。したがって、複素数の 2 つの次元は互いに回転するのが非常に好きです。これを虚数から実数へ一度に大きくジャンプするのではなく「スムーズに」実現するには、小数指数値を使用できます。これが オイラーの公式 の背後にある本質です。
\[e^{ix}= \cos x + i \sin x\]これにより、右辺の複素数が 2D 平面内の円を表し、角度 x の関数として回転することがわかります。自然指数関数と角度としての x の役割との間の関係の驚くべき意味の 1 つは、$x=\pi$ をこの方程式に代入すると、結果は -1 ($\cos \pi = -1$ および $\sin \pi = 0$) になるということです。つまり、次のようになります。
\[e^{i\pi} + 1 = 0\]これは数学の中で最もクールな方程式の 1 つです。
量子確率の最後の重要な要素は、すべての確率の合計が 1 になるという制約 (つまり、norm) と同等のものが、代わりに、常に長さ 1 である複素超球の結果ベクトルの radius という観点で表されることです。言い換えれば、量子系の純粋状態は、超球の表面上にあるように制約されます (たとえば、 2次元システム）。三角法の場合と同様、この半径は複素 2D 空間の斜辺に関連しているため、ピタゴラスの定理が関係します。
\[r^2 = x^2 + y^2\]複素数の世界では、二乗演算は、complex conjugate (反対の符号を持つ複素数) を乗算することによって実行されます。
重要なことに、この半径ベースの制約は、量子システムの異なる次元間に_自動的に_相互依存性を導入します。回転操作の場合と同様に、システムはゼロ和特性を持つように制約されます。特定の基底ベクトルに対して一方向に移動する場合、半径が固定長のままになるように、もう一方の基底ベクトルに沿ってそれを自動的に補正する必要があります。
事実上、量子確率を「作成」したり「破壊」したりすることは決してできません。量子確率は球面上で回転するだけであり、使用される基底ベクトルに応じてさまざまな結果の配置が変化します。これは、そのような基底ベクトルの選択が比較的重要ではないことも意味します。つまり、確率とそのような各基底ベクトルの間に特権的な関係はありません。
当然の帰結として、斜辺としての量子規範の性質により、量子確率は基本的に互いに相互接続 (「もつれ」) したままでなければなりません。つまり、一方が変化すると、この「集合的」規範を維持するために、他方も必然的に追随する必要があります。
したがって、非負因数分解と符号制約なし因数分解 (PCA など)、および古典的確率と量子確率の間の関係の本質は次のとおりです。
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古典的な確率と非負の因数分解の両方において、確率とそれが記述するイベントの間に特権的な関係があり、各確率が直交イベント (つまり、[[distributed representations#localist representations localist]] の基礎となる表現) に一意に適用されなければならないという強力な相互排他性制約があります。 - 量子確率と符号制約なし因数分解 (PCA など) では、確率とそれが記述するイベントの間に特権的な関係はありません。確率は基底ベクトルによって定義される球面上で自由に回転し、基底ベクトルの直交セットは他のものと同様に優れています。
たとえば、[[@^Zurek05]] は、この原理を einvariance の概念とともに利用して、古典的確率理論を動機付けるために使用されてきた定義的な「無差別の原理」に関連して、古典的確率と量子確率の基本的な違いを実証します。具体的には、確率はさまざまな出来事の結果についての知識の欠如 (「無関心」) を定量化します。実際、彼は、特権的な基底空間の欠如により、量子システムにははるかに深いレベルの「無関心」が存在することを示しています。
より広いレベルでは、量子世界のこの根本的な「無関心」または恣意性が、量子レベルでの「現実」は明確に定義された概念ではないという考えを生み出します。すべては基本的に恣意的であり、相互に関連しており、何かを測定しようとするたびに、必然的にすべてを回転させ、システムを根本的に変えることになります。そして、システムに干渉する前の状態を復元することは決してできないため、あるレベルでは、いかなる種類の物理的現実もその以前の状態に帰することは意味がありません。
量子領域のこれらの特性は、基本的に波動ベースのシステムから生じるものと見なすことができます。波動は、伝播して他の波動と相互作用する際に、正と負の「干渉効果」を自動的に課します。さらに、波は一定の運動状態にあり、常に振動しており、本質的に状態空間を回転しています。したがって、波には実際には安定した現実はなく、基本的に動的で一時的なものです。また、独自の波を作成することなく波の媒体 (水など) と相互作用することはできません。波は伝播して他のすべてのものに干渉します。
さらに、量子波動関数、たとえばシュレーディンガー方程式は、波の複素二乗 (つまり、その全体の「確率」) が時間の経過とともに厳密に固定される、基本的に「保守的な」波を記述します。これは、たとえ波動方程式自体が局所的に利用可能な状態変数に関して完全に計算できるとしても、斜辺のようなゼロ和の挙動と、その結果として生じる波の遠位領域間の相互作用を意味します。
対照的に、古典的な確率は、波のように相互に干渉したり相互作用したりしない、厳密に孤立した局所的なもの (硬くて小さな「粒子」、たとえば壺の中のボールなど) に関係します。量子物理学の標準的な_コペンハーゲン_解釈(ボーアとハイゼンベルクによる)は、量子から古典へのこの移行を、_測定_が発生した瞬間の波動関数の突然の瞬間的な_崩壊_という観点から説明します。しかし、この説明はあらゆる種類の論理的矛盾をはらんでいて、量子領域の性質をめぐる混乱の多くの原因となっています。
対照的に、量子物理学の_ド・ブロイ・ボーム_解釈には、硬粒子が量子波動関数を「サーフィン」することが含まれており、標準の量子物理学のフレームワークと完全に互換性があります(詳細については、wavereality.orgを参照)。したがって、量子力学の核心である波動と粒子の二重性がこの合成図に組み込まれており、瞬間的な波動関数の崩壊という問題のある概念は完全に回避されています。この観点の下では、量子の世界は、波動関数が力学を支配する比較的短い空間および時間スケールで支配的である一方、古典的世界は粒子のような特性をより多く反映する現象の観点から現れます。
神経科学への応用
神経科学に関連して、古典的イメージと量子的イメージの両方がさまざまな方法で適用され、おそらく両方が常に機能し、さまざまな状況によってこれらのさまざまな側面がさまざまな程度で強調されるド・ブロイ・ボームの枠組みに比喩的に対応しています。
まず、[[linear algebra#non-negative factorization]] に関連して、ニューロンがこれらの非負性制約に従うという事実は、そのような非負性制約を持たない [[abstract neural network]] (ANN) と比較して、ニューロンが情報を表現する方法と、これらの表現における有効な自由度に重大な制約を課します。具体的には、非否定性により、脳内で表現される外界の外部変数に関して、神経表現がより直接的に_解釈可能_になるはずです。これは、脳全体のニューロンの電気的記録が、関心のある刺激や行動反応と直接の相関関係を示すことが多い理由の説明に役立ちます。
私たちはこれらの相関関係を当然のことと考えることがよくありますが、このような相関関係を ANN から抽出することは一般にはるかに困難であり、ANN は理解するのが非常に難しい「ブラック ボックス」であると批判されています。したがって、これらの完全な非負性制約を組み込んだ、より生物学に基づいたモデルを使用する潜在的な利点の 1 つは、基礎となる神経表現に関してより解釈可能な動作を生成できることです。
| ただし、前述したように、[[constraint satisfaction]] アトラクター ダイナミクスをサポートする [[bidirectional connectivity | bidirectionally connected]] ネットワークは、量子システムによく似た動作をし、一部の制約における比較的小さな違いが、ネットワークが落ち着くグローバルな状態に大きな影響を与える能力を備えています。これは、_臨界_の境界にある動的システムの特徴であり、より_混沌とした_動作を示します ([[@Langton90]]; [[@MaassNatschlagerMarkram02]]; [[@VerstraetenSchrauwenDHaeneEtAl07]]; [[@Carroll20]])。したがって、そのようなシステムはより量子波のような効果を示すはずであり、明白な動作は環境コンテキスト要因によってより強く影響される可能性があり、イベントの順序付けは比較的大きな影響を与える可能性があります（例：[[@BruzaWangBusemeyer15]]）。 |
興味深いことに、人間の認知における [[language]] の役割は、量子世界の粒子の役割にやや似た役割を果たしている可能性があります。個人の脳内では、世界はすべて波状で混沌としていますが、そのすべてを別の人間に伝達できる離散的な象徴的な発話に還元する必要があるため、システムに対してハードで離散的な粒子のような制約が生成されます。人は、他人にそれを伝えようとするときに、自分自身の理解の限界を認識するだけであることがよくあります。これが、教育と論文の執筆が科学研究の使命全体と相乗効果をもたらす理由です。それは人に理解を明確にし、局所化し、形式化することを強います（特に、そもそもそのような思考形態に体質的に陥りやすいわけではない場合）。
| 要するに、量子システムの測定プロセスにおける人間 [[conscious-awareness | consciousness]] の役割に関するコペンハーゲン解釈の文脈では根本的な混乱があった一方で、おそらく人間の意識の性質は、実際には量子世界の性質によって「比喩的に」うまく捉えられているのかもしれません。それは基本的に単一でカオス的かつ動的ですが、神経活動の双方向の波の上に乗って離散レベルの象徴的解釈もサポートします。システム全体のこれら 2 つの相補的な側面間の相互作用はおそらく相乗的であり、それぞれが人間の知性の固有の能力を完全に開花させるために必要とされます。 |
おそらく残念ながら、多くの人がこの比喩的なつながりを超えて、量子現象と意識の間に直接の物理的なつながりを確立しようと試みてきました。人間の脳の巨視的で熱く混沌とした性質を考えると、これはありそうもないことのように思えます。それにもかかわらず、おそらく、比喩的なつながりは、システム全体の理解をさらに深めるのに多少なりとも有益である可能性があります。